Вот:
code_18833.txt
Должна обновлять PaintBox при изменении размера формы, но не обновляет.

Не должна. Обновление PaintBox происходит только по doClear или при ClearBeforeDraw=True, но при этом, в последнем случае, для отрисовки, нужно использовать onBeforeDraw. А как это сделать, советую подумать дальше

Ну вот:
code_18834.txt
Теперь обновляет, но при изм. размера стирает картинку и не ставит на место. В чём проблема?

В том, что надо давать команду на перерисовку картинки
------------ Дoбавленo в 02.11:
Глядя на схему могу сказать одно -- работать нормально твоя задумка не будет. Ну не используют контрол отрисовки для хранения и преобрзования битмапов, это надо делать в отдельном буферном элементе, а на отрисовку только выводить, уже подготовленный, битмап.

И как, простите, этот чудесный элемент называется? Не в системный же буфер записывать.

Обычный Bitmap, это и есть буферный элемент