Браузер не поддерживает и не поддерживал такую возможность. Если за компом должны работать несколько человек,
то для этих целей предусмотрены учетные записи, каждый пользователей под своей учеткой.

Если раньше работало, как я писал ранее, это свидетельствует о том что сама процедура авторизации на сайте поддерживала такую возможность.

Для хранения временных файлов назначена своя директория. В ней хранятся файлы для сайта, а не для отдельного пользователя.

Теоретически можно выдернуть кукисы и в зависимости от аккаунта подсовывать нужные. Но...
Нету какого-то стандарта авторизации одинакового для всех сайтов, каждый старается найти что-то новое, покруче чем у других. Поэтому универсальное средство для подобных целей, очень тяжело сделать, почти невозможно.

Вам можно посоветовать использовать режим InPrivate в IE, либо готовые браузеры которые имеют такую возможность, либо сервисы типа анонимайзеров или чтото в этом духе.