Могу лишь сказать, что компонент сделан не на базе KOL'овского TTrayIcon. А в KOL'овском есть свойство AutoRecreate, которое восстанавливает иконку в трее, например, если произошло аварийное завершение Проводника. Может быть, это свойство и помогло бы в данной ситуации, но раз компонент напрямую обращается к ShellApi...
------------ Дoбавленo в 19.54:
Попробуй дополнительно использовать doAddTrayIcon.