На сайтах, требующих авторизации, ничего тестировать не могу. Ищи общедоступные сайты, делай минимальную схему, чтобы показать что не работает. Метод doDecompres принимает на вход строку, поэтому StreamToStr необходим. Можно использовать doDecompressStream, но надо указывать Count. Также в случае проблем надо смотреть событие onError.
У тебя "цикличность" организована неправильно. Единственный правильный способ цикла с завершением по условию - использование компонента Repeat на метод doLoadXXX.
Но в твоём случае это не требуется. Для перебора списка ссылок используется компонент ArrayEnum, а не та лабуда с doGetString+doDelete.
Должен. Если сервер отправляет в ответе заголовок "Content-Type" с указанием кодировки. Если нет - сменить "Auto" на "UTF-8" и не нужно других компонентов.
Также будет работать только если страница в UTF-8 содержит только английские и русские символы, а не какие-нибудь китайские, арабские или любые другие (более точно: не входящие в "язык для программ, не поддерживающих Юникод" в "Панели управления").

В моде добавлено только свойство Headers, куда ты и добавляешь свои куки? И что, если в HTTPClient их добавить в Headers - не то же самое?